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# Funcionamiento de PCA
El análisis de componentes principales (PCA) es un algoritmo de aprendizaje que reduce la dimensionalidad (número de características) dentro de un conjunto de datos mientras retiene toda la información posible.
PCA reduce la dimensionalidad mediante la búsqueda de un nuevo conjunto de características denominado *componentes*, que son los compuestos de las características originales que no son correlativas entre sí. El primer componente implica la máxima variabilidad posible en los datos y el segundo componente la segunda variabilidad máxima y así sucesivamente.
Se trata de un algoritmo de reducción de la dimensionalidad no supervisado. En el aprendizaje no supervisado, no se utilizan las etiquetas que pueden asociarse a los objetos en el conjunto de datos de capacitación.
Dada la entrada de una matriz con filas ![\[x_1,…,x_n\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-39b.png) en cada dimensión `1 * d`, los datos se particionan en minilotes de filas y se distribuyen entre los nodos de capacitación (procesos de trabajo). Cada proceso de trabajo realiza entonces la computación de un resumen de sus datos. Los resúmenes de estos distintos procesos de trabajo se unifican en una solución única al final de la computación.
**Modos**
El algoritmo PCA de Amazon SageMaker AI utiliza uno de los dos modos para calcular estos resúmenes, según la situación:
+ **normal**: para conjuntos de datos con datos dispersos y un número moderado de observaciones y características.
+ **aleatorio**: para conjuntos de datos con un gran número de observaciones y características. Este modo utiliza un algoritmo de aproximación.
Como último paso del algoritmo, realiza la descomposición de valor singular en la solución unificada, a partir de la que se derivan los componentes principales.
## Modo 1: Regular
Los procesos de trabajo computan de forma conjunta ![\[Equation in text-form: \sum x_i^T x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-1b.png) y ![\[Equation in text-form: \sum x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-2b.png).
**nota**
Como ![\[Equation in text-form: x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-3b.png) son vectores de filas `1 * d`, ![\[Equation in text-form: x_i^T x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-4b.png) es una matriz (no escalar). El uso de vectores de filas dentro del código nos permite obtener un almacenamiento en caché eficiente.
La matriz de covarianza se calcula como ![\[Equation in text-form: \sum x_i^T x_i - (1/n) (\sum x_i)^T \sum x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-32b.png) y sus vectores singulares `num_components` superiores forman el modelo.
**nota**
Si `subtract_mean` es `False`, evitamos la computación y sustracción ![\[Equation in text-form: \sum x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-2b.png).
Utilice este algoritmo cuando la dimensión `d` de los vectores sea lo suficientemente pequeña como para que ![\[Equation in text-form: d^2\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-7b.png) pueda caber en la memoria.
## Modo 2: Aleatorio
Cuando el número de características en el conjunto de datos de entrada es grande, utilizamos un método para aproximar la métrica de covarianza. Para cada minilote ![\[Equation in text-form: X_t\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-23b.png) de dimensión `b * d`, inicializamos de forma aleatoria una matriz `(num_components + extra_components) * b` que multiplicamos por cada minilote para crear una matriz `(num_components + extra_components) * d`. Los procesos de trabajo computan la suma de estas matrices y los servidores realizan el SVD en la matriz `(num_components + extra_components) * d` final. Los vectores singulares `num_components` de la parte superior derecha de ella son la aproximación de los vectores singulares superiores de la matriz de entrada.
Deje ![\[Equation in text-form: \ell\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-38b.png) ` = num_components + extra_components`. Con un minilote ![\[Equation in text-form: X_t\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-23b.png) de dimensión `b * d`, el proceso de trabajo dibuja una matriz aleatoria ![\[Equation in text-form: H_t\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-24b.png) de dimensión ![\[Equation in text-form: \ell * b\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-38.png). Según si el entorno utiliza una GPU o CPU y el tamaño de dimensión, la matriz es una matriz de firma aleatoria en la que cada entrada es `+-1` o una *FJLT* (transformación rápida Johnson Lindenstrauss; para obtener más información, consulte [Transformaciones FJLT](https://www.cs.princeton.edu/~chazelle/pubs/FJLT-sicomp09.pdf) y los papeles de seguimiento). El proceso de trabajo computa a continuación ![\[Equation in text-form: H_t X_t\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-26b.png) y mantiene ![\[Equation in text-form: B = \sum H_t X_t\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-27b.png). El proceso de trabajo también mantiene ![\[Equation in text-form: h^T\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-28b.png), la suma de columnas de ![\[Equation in text-form: H_1,..,H_T\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-29b.png) (`T` que es el número total de minilotes) y `s`, la suma de todas las filas de entrada. Después de procesar el fragmento completo de datos, el proceso de trabajo envía el servidor `B`, `h`, `s` y `n` (el número de filas de entrada).
Indicar las entradas distintas en el servidor como ![\[Equation in text-form: B^1, h^1, s^1, n^1,…\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-30b.png) El servidor computa `B`, `h`, `s`, `n` las sumas de las entradas respectivas. A continuación, computa ![\[Equation in text-form: C = B – (1/n) h^T s\]](http://docs.aws.amazon.com/es_es/sagemaker/latest/dg/images/PCA-31b.png) y encuentra su descomposición de valores singular. Los vectores singulares de la parte superior derecha y los valores singulares de `C` se utilizan como la solución aproximada para el problema.