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# Funktionsweise der PCA
Die PCA ist ein unüberwachter Machine-Learning-Algorithmus, der die Dimensionalität (Anzahl der Merkmale) innerhalb eines Datensatzes reduziert und zugleich so viele Informationen wie möglich beibehält.
Die PCA reduziert die Dimensionalität, indem sie eine neue Menge an Merkmalen, sogenannter *Komponenten*, ermittelt, die Composites der ursprünglichen Merkmale sind, die jedoch nicht miteinander korrelieren. Die erste Komponente umfasst die größtmögliche Variabilität der Daten, die zweite Komponente die zweitgrößte Variabilität und so weiter.
Es handelt sich um eine unüberwachten Algorithmus zur Reduktion der Dimensionalität. Bei unüberwachtem Lernen werden Kennzeichnungen, die den Objekten im Trainingsdatensatz zugeordnet werden, nicht verwendet.
Angenommen es liegt eine Matrix mit den Zeilen ![\[x_1,…,x_n\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-39b.png) und der Dimension `1 * d` vor. Die Daten werden zeilenweise in Mini-Stapel partitioniert an das Trainingsknoten (Worker) verteilt. Jeder Worker berechnet eine Zusammenfassung seiner Daten. Die Zusammenfassungen der verschiedenen Worker werden am Ende der Berechnung in einer einzigen Lösung zusammengeführt.
**Modi**
Der Amazon SageMaker AI PCA-Algorithmus verwendet je nach Situation einen von zwei Modi, um diese Zusammenfassungen zu berechnen:
+ **regular**: bei Datensätzen mit geringer Datendichte und einer geringen Anzahl an Beobachtungen und Merkmalen.
+ **randomized**: bei Datensätzen mit einer großen Anzahl an Beobachtungen und Merkmalen. Dieser Modus verwendet einen Approximationsalgorithmus.
Der Algorithmus wendet als letzten Schritt die Singulärwertzerlegung für die vereinheitlichte Lösung an, von der die Hauptkomponenten abgeleitet werden.
## Modus 1: regular
Die Worker berechnen sowohl ![\[Equation in text-form: \sum x_i^T x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-1b.png) als auch ![\[Equation in text-form: \sum x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-2b.png).
**Anmerkung**
Da ![\[Equation in text-form: x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-3b.png) `1 * d` Zeilenvektoren sind, ist ![\[Equation in text-form: x_i^T x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-4b.png) eine Matrix (keine Skalarfunktion). Das Verwenden von Vektoren innerhalb des Codes ermöglicht effizientes Caching.
Die Kovarianzmatrix wird als ![\[Equation in text-form: \sum x_i^T x_i - (1/n) (\sum x_i)^T \sum x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-32b.png) berechnet und die oberen `num_components` singulären Vektoren bilden das Modell.
**Anmerkung**
Wenn `subtract_mean` gleich `False` ist, wird auf die Berechnung und Subtraktion von ![\[Equation in text-form: \sum x_i\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-2b.png) verzichtet.
Verwenden Sie diesen Algorithmus, wenn die Dimension `d` der Vektoren klein genug ist, sodass ![\[Equation in text-form: d^2\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-7b.png) in den Arbeitsspeicher integriert werden kann.
## Modus 2: randomized
Wenn die Anzahl der Merkmale im eingegebenen Datensatz groß ist, wird eine Methode zur Approximierung der Kovarianzmetrik angewandt. Für jeden Mini-Stapel ![\[Equation in text-form: X_t\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-23b.png) der Dimension `b * d` initialisieren wir nach dem Zufallsprinzip eine `(num_components + extra_components) * b` Matrix, die mit jedem Mini-Stapel multipliziert wird, um eine `(num_components + extra_components) * d` Matrix zu erstellen. Die Summe dieser Matrizes wird durch die Worker berechnet. Die Server wendet die Singulärwertzerlegung auf die letzte `(num_components + extra_components) * d`-Matrix an. Die singulären Vektoren `num_components` oben rechts sind die Approximation der obersten singulären Vektoren der Eingabematrix.
Nehmen wir an ![\[Equation in text-form: \ell\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-38b.png) ` = num_components + extra_components`. Mit einem gegebenen Mini-Stapel ![\[Equation in text-form: X_t\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-23b.png) der Dimension `b * d` zeichnet der Worker zeichnet eine zufällige Matrix ![\[Equation in text-form: H_t\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-24b.png) der Dimension ![\[Equation in text-form: \ell * b\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-38.png). Je nachdem, ob die Umgebung eine GPU oder CPU verwendet und je nach Dimensionsgröße, ist die Matrix entweder eine randomisierte Matrix mit Vorzeichen, bei der jeder Eintrag `+-1` lautet, oder eine *FJLT* (schnelle Johnson-Lindenstrauss-Transformation). Weitere Informationen finden Sie unter [FJLT Transforms](https://www.cs.princeton.edu/~chazelle/pubs/FJLT-sicomp09.pdf) und im nachfolgenden Artikel. Der Worker berechnet anschließend ![\[Equation in text-form: H_t X_t\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-26b.png) und behält ![\[Equation in text-form: B = \sum H_t X_t\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-27b.png) bei. Der Worker behält außerdem ![\[Equation in text-form: h^T\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-28b.png) bei, die Summe der Spalten ![\[Equation in text-form: H_1,..,H_T\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-29b.png) (`T` ist die Gesamtanzahl der Mini-Stapel) und `s`, die Summe aller Eingabezeilen. Nach der Verarbeitung der gesamten Datenbruchstücke schickt der Worker `B`, `h`, `s` und `n` (die Anzahl der Eingabezeilen) an den Server.
Bezeichnen Sie die verschiedenen Eingaben an den Server als ![\[Equation in text-form: B^1, h^1, s^1, n^1,…\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-30b.png). Der Server berechnet `B`, `h`, `s`, `n` die Summen der jeweiligen Eingaben. Anschließend wird ![\[Equation in text-form: C = B – (1/n) h^T s\]](http://docs.aws.amazon.com/de_de/sagemaker/latest/dg/images/PCA-31b.png) berechnet und seine Singulärwertzerlegung gesucht. Die oberen rechten singulären Vektoren und einzelne Werte von `C` werden als Approximationslösung des Problems verwendet.